Ce cours couvre plusieurs aspects essentiels de l'analyse mathématique et de la topologie, en particulier dans le cadre des espaces de dimension . Il commence par introduire la notion de norme, qui permet de mesurer la "taille" des vecteurs et de définir les distances entre les points dans cet espace. On explore ensuite les concepts d'ouverts et de fermés, essentiels en topologie, ainsi que des notions telles que les boules ouvertes et fermées, le voisinage d'un point, et les espaces compacts et séparés. Le chapitre se poursuit avec des définitions topologiques importantes comme les sous-ensembles ouverts, les suites de Cauchy et les espaces métriques complets, qui servent à établir les bases de la convergence et de la continuité dans ces espaces.
Le cours se poursuit par l’étude des fonctions à plusieurs variables, où l'on apprend à travailler avec des fonctions définies sur des ensembles de dimension supérieure à 1. Des concepts comme le produit cartésien, les fonctions bornées, et les limites et continuité des fonctions multivariées sont abordés. Un focus particulier est mis sur les dérivées partielles, qui décrivent comment une fonction varie par rapport à chacune de ses variables indépendantes. Les propriétés des dérivées partielles et les dérivées d'ordre supérieur sont également détaillées.
Dans le troisième chapitre, le cours se concentre sur la différentiabilité des fonctions multivariées et sur la manière de calculer le gradient, qui donne la direction de variation maximale d'une fonction. Les matrices jacobiennes et les matrices hessiennes sont présentées comme des outils pour analyser la variation des fonctions et pour étudier les extrema locaux à l’aide de critères de test. Le chapitre aborde également le théorème des fonctions implicites, permettant de résoudre des systèmes d'équations définissant une fonction de manière implicite.
Enfin, le cours aborde les intégrales doubles, qui sont utilisées pour calculer des aires et des volumes dans des espaces à deux dimensions. Il explore les principes des intégrales doubles sur des régions rectangulaires et les changements de variables, avant de se concentrer sur les intégrales curvilignes et l’utilisation des champs de vecteurs pour calculer la circulation dans ces espaces. La formule de Green-Riemann est également présentée comme un outil clé pour relier les intégrales de champs vectoriels à des intégrales de contour fermé.
Ce cours, dans son ensemble, fournit une compréhension fondamentale des concepts de base en topologie, analyse multivariée et calcul différentiel, tout en offrant les outils nécessaires pour aborder des problèmes complexes dans ces domaines.
- Enseignant: Amina HALLAL