Analyse 3

Le cours d’Analyse 3 est composé de six chapitres. Le premier chapitre est consacré aux séries numériques réelles et complexes, à leurs propriétés algébriques, aux critères de convergence, aux séries à termes positifs et de signes quelconques, ainsi qu’aux séries alternées, aux règles de comparaison, aux critères de d’Alembert, de Cauchy, de Cauchy-Maclaurin, de Bertrand, de Dirichlet et d’Abel, au groupement des termes et au produit des séries.
Le deuxième chapitre porte sur les suites et séries de fonctions, en particulier les convergences simple et uniforme, leur interprétation graphique, le critère de Cauchy uniforme et les propriétés des suites et séries de fonctions uniformément convergentes.
Le troisième chapitre traite des séries entières réelles et complexes, de leur rayon de convergence, des règles de Cauchy-Hadamard et de d’Alembert, de la convergence normale, du théorème de Weierstrass, des séries de Taylor ainsi que des propriétés relatives aux sommes et aux produits des séries entières.
Le quatrième chapitre est consacré aux séries de Fourier, notamment aux séries trigonométriques, aux coefficients de Fourier, aux développements des fonctions paires et impaires, aux critères de convergence, aux applications des séries de Fourier, à leur forme complexe et à la formule de Parseval.
Le cinquième chapitre porte sur les intégrales impropres ou généralisées, leurs critères de convergence, la convergence absolue et la semi-convergence, les règles de Cauchy, de Dirichlet et d’Abel, les relations entre séries et intégrales, la valeur principale de Cauchy, les changements de variable, les formules de la moyenne et les méthodes de calcul des intégrales généralisées.
Enfin, le sixième chapitre est consacré aux fonctions définies par une intégrale, en étudiant leur continuité et leur dérivabilité, les intégrales dépendant d’un paramètre, la convergence uniforme des intégrales généralisées, les critères de Weierstrass, de Dirichlet et d’Abel, le passage à la limite sous le signe intégral, l’intégration par rapport au paramètre ainsi que les fonctions Gamma et Bêta d’Euler.